Exercice sur les limites

Montrer a l'aide de la définition d'une limite que :
1)
2)
3)

Solution d'exercice sur les limites

1)
Df = ]- ∞ , + ∞[
Ecrivez la définition Limites des fonctions
|x+2| < σ ⇒ |x²-4| < ξ
|x²-4| = |(x+2)(x-2)| = |x+2||x-2|
On choisit σ' =1 : |x+2| < 1
⇒ -1 < x+2 < +1
⇒ -3 < x < -1
⇒ -5 < x-2 < -3 < 5
⇒ |x-2| < 5 ⇒ |x-2||x+2| < 5
|x+2| < ξ ⇒ |x+2| < = σ''
On prend σ = min ( σ' , σ'') = min (1, )

2)
Df = ]- ∞ , 1[ ∪ ]1 , +∞[
Ecrivez la définition Limites des fonctions
|x+2| < σ ⇒ < ξ

On prend σ = 1 ⇔ |x+2| < 1 ⇔ -1 < x+2 <1 ⇔ -3 < x <1 <3 ⇔ |x| < 3
-3 < x < -1 ⇔ 1< -x <3 ⇔ 2 < 1-x <4 ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇒ |x+2| < = σ'' ⇒ σ = min (1 , )

3)

Df = R Ecrivez la définition Limites des fonctions
∀ ξ > 0 ∃ A > 0 , ∀ x ∈ R
x > A ⇒
∀ x > 0 : x²+x+1 > x

⇒